Derivace v bodě
Spočítejte derivaci funkce v konkrétním bodě a uvidíte tečnu ke grafu – sklon tečny je hodnota derivace.
Podpora: + − * / ^, funkce sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, abs. Konstanty pi, e. Násobení lze psát 2x.
Co je derivace
Derivace funkce v bodě udává okamžitou rychlost změny funkce – jak strmě funkce v daném místě roste nebo klesá. Geometricky je to sklon tečny ke grafu funkce v tom bodě. Když je derivace kladná, funkce roste; když záporná, klesá; když nulová, má funkce v tom bodě vrchol nebo sedlo.
f′(x₀) = limh→0 [ f(x₀+h) − f(x₀) ] / h
K čemu se derivace používá v praxi
- Fyzika: rychlost je derivace polohy podle času, zrychlení je derivace rychlosti.
- Hledání maxima a minima – tam, kde je derivace nulová (optimalizace nákladů, zisku, tvaru).
- Ekonomie: mezní náklady a mezní užitek jsou derivace celkových veličin.
- Strojové učení: gradient (derivace) říká, kterým směrem upravit model, aby se zlepšil.
Tečna ke grafu
Tečna je přímka, která se grafu dotýká v jednom bodě a má v něm stejný sklon jako funkce. Její rovnice je y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀). Na grafu nahoře vidíte funkci zeleně a tečnu oranžově – jejich sklon v bodě dotyku je stejný, což je přesně hodnota derivace.
Tip: U polynomů a základních funkcí počítáme derivaci přesně (symbolicky), u složitějších numericky. Symbolická derivace ukáže vzorec derivace.