Vzorce integrálů
Přehled základních integrálů (primitivních funkcí) s interaktivními příklady a výpočtem.
| funkce f(x) | integrál ∫ f(x) dx |
|---|---|
| k (konstanta) | k·x + C |
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C exponent o jedna víc, dělíme jím |
| 1/x | ln|x| + C výjimka z pravidla pro mocninu |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/cos²x | tan x + C |
| 1/√(1−x²) | arcsin x + C |
| 1/(1+x²) | arctan x + C |
Neurčitý a určitý integrál
Vzorce v tabulce udávají neurčitý integrál (primitivní funkci) – proto je u nich konstanta + C (derivace konstanty je nula, takže primitivních funkcí je nekonečně mnoho). Určitý integrál pak dosadí meze: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), kde F je primitivní funkce. Výsledek určitého integrálu je číslo – plocha pod křivkou.
Integrál jako opak derivace
Integrování je opačná operace k derivování: hledáme funkci, jejíž derivace je zadaná funkce. Proto se každý integrální vzorec dá ověřit zpětně – zderivováním výsledku dostanete původní funkci. Názorně jako plochu ukazuje určitý integrál a Riemannovy součty.
Výpočet nahoře používá numerickou metodu (Simpson), takže funguje i pro funkce bez jednoduchého vzorce primitivní funkce.