Tangens (tan)

Co je Tangens

Tangens úhlu je poměr protilehlé a přilehlé odvěsny, tedy sin α / cos α. Geometricky vyjadřuje strmost (sklon) – směrnici přímky svírající s vodorovnou osou daný úhel.

Definiční obor a vlastnosti

Definiční obor jsou všechna reálná čísla kromě 90° + k·180° (tam cos = 0 a tangens není definován). Obor hodnot jsou všechna reálná čísla. Perioda je 180°, funkce je lichá.

Významné hodnoty

tan 0° = 0, tan 30° = √3/3 ≈ 0,577, tan 45° = 1, tan 60° = √3 ≈ 1,732, tan 90° = není definován

K čemu se Tangens používá v praxi

• Sklon střechy, silnice nebo rampy – stoupání v procentech je tangens úhlu.
• Výpočet výšky nedostupného bodu (strom, budova) z úhlu a vzdálenosti.
• Optika a fyzika – lom světla, výpočet úhlů odrazu.

Jednotková kružnice a grafy

Nejlepší způsob, jak goniometrickým funkcím porozumět, je jednotková kružnice – kružnice o poloměru 1 se středem v počátku. Když se po ní pohybujeme o úhel α, souřadnice bodu jsou přesně (cos α, sin α). Odtud plyne i základní vztah sin²α + cos²α = 1 (Pythagorova věta pro tento bod). Graf funkce pak vznikne, když vynášíme hodnotu funkce proti úhlu – vznikne charakteristická vlna.

Vztahy mezi funkcemi

tan α = sin α / cos α  •  cot α = 1 / tan α  •  sin²α + cos²α = 1